Ο Γιώργος Μπόγρης γεννήθηκε στις 19 Φεβρουαρίου 1989 στις Θεσπιές και μεγάλωσε στη Θήβα, όπου ήρθε σε επαφή με το άθλημα μέσω των τμημάτων υποδομής του Κάδμου Θήβας.
Σε ηλικία μόλις 14 ετών ο ΠΑΟΚ, ο Άρης και ο Ηλυσιακός εκφράζουν ενδιαφέρον να τον εντάξουν στην ομάδα τους. Ξεκίνησε τελικά την επαγγελματική του πορεία του από τους “δαφνοστεφανομένους”, για χάρη των οποίων μετακόμισε στην Αθήνα. Με τα χρώματα του Ηλυσιακού αγωνίστηκε για την τετραετία 2005-09 στην Α2 Εθνική. Έχοντας διακριθεί με την Εθνική Ελλάδος Νέων έλαβε μεταγραφή στον Παναθηναϊκό, όπου και παρέμεινε για δύο αγωνιστικές περιόδους.
Με το “τριφύλλι” αναδείχθηκε δύο φορές Πρωταθλητής Ελλάδος (2010, 2011) και πανηγύρισε την κατάκτηση της EuroLeague την περίοδο 2010-11. Το 2010 συμμετείχε επίσης στο All Star Game Νέων. Στη συνέχεια έκανε ένα σύντομο πέρασμα από το Περιστέρι. Επόμενος σταθμός του ήταν η Θεσσαλονίκη για χάρη του Άρη την περίοδο 2011-12. Το καλοκαίρι του 2012 υπέγραψε συμβόλαιο με την ομάδα του Πανιωνίου, όπου και παρέμεινε για ένα χρόνο. Τον Αύγουστο του 2013 ο ΠΑΟΚ ανακοίνωσε την έναρξη της συνεργασίας του με τον καλαθοσφαιριστή. Τον Αύγουστο του 2014 υπέγραψε συμβόλαιο συνεργασίας με την ομάδα της Ανδόρας, που αγωνίζεται στο Ισπανικό Πρωτάθλημα, ενώ το καλοκαίρι του 2015 υπέγραψε στην Ισπανική Μπιλμπάο.
Ως μέλος της Εθνικής Ελλάδος Παίδων έχει διαγωνιστεί στο Πανευρωπαϊκό Πρωτάθλημα Παίδων το 2004 στην Ηλεία και το 2005 στο Λεόν. Με την Εθνική Εφήβων στο Πανευρωπαϊκό Πρωτάθλημα Εφήβων το 2006 στην Ηλεία και το Αργοστόλι, στο Βαλκανικό Πρωτάθλημα Εφήβων το 2006 στο Βόλο και στο Πανευρωπαϊκό Πρωτάθλημα Εφήβων το 2007 στη Μαδρίτη, όπου και κέρδισε με τους συμπαίκτες του το Ασημένιο Μετάλλιο. Τέλος, με την Εθνική Νέων Ανδρών συμμετείχε στο Πανευρωπαϊκό Πρωτάθλημα Νέων το 2007 στη Ρίγα και στο Πανευρωπαϊκό Πρωτάθλημα Νέων το 2009 στη Ρόδο, όπου και κατέκτησε το Χρυσό Μετάλλιο. Στη διοργάνωση αυτή αναδείχθηκε πρώτος σκόρερ, πρώτος στις τάπες και δεύτερος ριμπάουντερ της ελληνικής ομάδας. Το 2014 ο Φώτης Κατσικάρης τον κάλεσε για την προετοιμασία της Εθνικής ενόψει του Παγκοσμίου Κυπέλλου 2014. Το 2012 ήταν στέλεχος της πρώτης Ελληνικής Εθνικής Ομάδας Ανδρών 3×3 και συμμετείχε στο 1ο Παγκόσμιο Πρωτάθλημα 3×3, που διεξήχθη στο Ζάππειο. Το 2015 πήρε μέρος και στους 3×3 Ευρωπαϊκούς Αγώνες στη Ρουμανία.
Διακρίσεις
Διακρίσεις
Σε συλλογικό επίπεδο…
Πρωταθλητής Ευρώπης το 2011
Πρωταθλητής Ελλάδας το 2010 και 2011
Σε εθνικό επίπεδο…
Αργυρό μετάλλιο στο Ευρωπαϊκό Πρωτάθλημα Εφήβων το 2007
Χρυσό μετάλλιο στο Ευρωπαϊκό Πρωτάθλημα Νέων το 2009
Ατομικά…
Πιο βελτιωμένος παίκτης του Ελληνικού Πρωταθλήματος το 2014